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[#00003] Utilità: Prova del 9

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[#00003] operazioni quattro operazioni addizione sottrazione divisione utilità utility Utilita_matematica_00001_Prova_del_nove Utilita_matematica_00001_Prova_del_9

Oggi vi proponiamo un’utility veramente interessante, ovvero, la prova del 9. L’argomento viene trattato in matematica e viene affrontato in classe terza. Questo articolo vi spiega come mettere in pratica la prova del 9 applicata alle quattro operazioni matematiche addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (con e senza resto). Di norma questa prova viene fatta solo per la moltiplicazione ma abbiamo ritenuto corretto affrontare anche l’applicazione della stessa per le restanti operazioni matematiche. Fai subito un esercizio tramite il modulo presente qui sotto. Se invece vuoi fare un po’ di teoria allora leggi più sotto nell’articolo.

Prova del 9
La prova del 9 consente di verificare se il risultato di un’operazione matematica (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione) è corretto senza eseguire un’altra operazione di controllo o l’inversa come prova ulteriore. Se l’esito di tale prova è negativo (ERRATA), è il caso di  rieseguire nuovamente l’operazione.

Si usa la dicitura “prova del 9” con il significato di prova certa anche se esiste una possibilità che un esito positivo (ESATTA) non dia la certezza di un risultato corretto (questa possibilità di ottenere un falso positivo è bassa e quindi siamo abbastanza sicuri che se la prova del 9 da esito positivo siamo abbastanza sicuri che quello da noi calcolato è il risultato corretto).

Passiamo alla pratica spiegando come eseguire la prova del 9 per tutte le quattro operazioni. Per seguire meglio gli esempi fate attenzione ai colori usati per rappresentare i numeri.

  • LA MOLTIPLICAZIONE

Un po’ di teoria definendo l’operazione matematica/aritmetica chiamata moltiplicazione.

La moltiplicazione è l’operazione che “ripete” più volte la stessa quantità. Il suo segno è “x” che si legge “per“. I numeri che si moltiplicano si chiamano fattori e, più precisamente, il primo moltiplicando e il secondo moltiplicatore; il risultato  che si ottiene si chiama prodotto.

Tracciamo una tabella formata da due righe e due colonne

Prendiamo in considerazione il seguente esempio

59 714 x 24 339 = 1 453 379 046 (Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9)

In alto a sinistra: si sommano le cifre del primo fattore o moltiplicando (5 + 9 + 7 + 1 + 4 = 26) ripetutamente, finché non resta un numero ad una sola cifra (2 + 6 = 8)

8

In alto a destra facciamo lo stesso procedimento con il secondo fattore o moltiplicatore (2 + 4 + 3 + 3 + 9 = 21, 2 + 1 = 3)

8 3

In basso a sinistra: si moltiplicano i 2 numeri in alto sulla tabella, e si riduce il risultato ad una sola cifra, sommandone le cifre (3 x 8 = 24, 2 + 4 = 6)

8 3
6

Infine in basso a destra mettiamo la somma delle cifre del numero che noi crediamo sia il risultato o prodotto dell’operazione (1 + 4 + 5 + 3 + 3 + 7 + 9 + 0 + 4 + 6 = 42,  4 + 2 = 6)

8 3
6 6

Se i due numeri in basso sono uguali (in questo caso 6 = 6) la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo. Ricordiamo che se la prova ha esito negativo, la moltiplicazione è sicuramente errata.

Riepiloghiamo con lo schema che segue

Somma cifre
primo fattore
Somma cifre
secondo fattore
Somma cifre
prodotto dei 2 numeri in alto
Somma cifre
risultato “ipotetico”

 

  • LA DIVISIONE (senza resto)

Un po’ di teoria definendo l’operazione aritmetica chiamata divisione.

La divisione di ripartizione è l’operazione che distribuisce una quantità in parti uguali. Il suo segno è “:” che si legge “diviso“. I numeri da dividere si chiamano il primo dividendo ed il secondo divisore; il risultato  che si ottiene si chiama quoto.

Tracciamo una tabella formata da due righe e due colonne

Prendiamo in considerazione il seguente esempio

1 453 379 046 : 24 339 = 59 714   =  (Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9)

In alto a sinistra: si sommano le cifre del divisore (2 + 4 + 3 + 3 + 9 = 21) ripetutamente, finché non resta un numero ad una sola cifra (2 + 1 = 3)

3

In alto a destra facciamo lo stesso procedimento con il quoto che noi crediamo sia il risultato dell’operazione (5 + 9 + 7 + 1 + 4 = 26, 2 + 6 = 8)

8 8

In basso a sinistra: si moltiplicano i 2 numeri in alto sulla tabella, e si riduce il risultato ad una sola cifra, sommandone le cifre (8 x 8 = 64, 6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1)

8 8
1

Infine in basso a destra mettiamo la somma delle cifre del dividendo  (1 + 4 + 5 + 3 + 3 + 7 + 9 + 0 + 4 + 6 = 42,  4 + 2 = 6)

8 3
1 6

Se i due numeri in basso sono uguali (in questo caso 6 = 6) la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo. Ricordiamo che se la prova ha esito negativo, la divisione è sicuramente errata.

Riepiloghiamo con lo schema che segue

Somma cifre
divisore
Somma cifre
quoto
Somma cifre
prodotto dei 2 numeri in alto
Somma cifre
dividendo

 

Approfondimento ad uso dei genitori:


Dal momento che la divisione e l’operazione inversa della moltiplicazione si potrebbe trasformare la divisione in una moltiplicazione ed eseguire la prova del nove con lo schema visto prima. Quindi se la nostra divisione è la seguente

dividendo : divisore = quoto

allora la moltiplicazione che ne consegue è la seguente

divisore x quoto = dividendo

Nel nostro esempio la divisione

1 453 379 046 : 24 339 = 59 714

si trasformerebbe nella moltiplicazione

24 339  x 59 714 = 1 453 379 046

  • LA DIVISIONE (con resto)

Il procedimento è uguale a quello con la divisione (senza resto) tranne per il fatto che al prodotto tra i numeri in alto si somma il resto. Segue l’intero procedimento.

Tracciamo una tabella formata da due righe e due colonne

Prendiamo in considerazione il seguente esempio

732 : 17 = 43 con resto 1   =  (Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9)

In alto a sinistra: si sommano le cifre del divisore (1 + 7 = 8) ripetutamente, finché non resta un numero ad una sola cifra (2 + 1 = 3)

8

In alto a destra facciamo lo stesso procedimento con il quoziente che noi crediamo sia il risultato dell’operazione (4 + 3 = 7)

8 7

In basso a sinistra: si moltiplicano i 2 numeri in alto sulla tabella, e si riduce il risultato ad una sola cifra, sommandone le cifre (8 x 7 = 56, 5 + 6 = 11, 1 + 1 = 2), infine si aggiunge a questo risultato il resto 1 (2 + 1 = 3)

8 7
3

Infine in basso a destra mettiamo la somma delle cifre del dividendo  (7 + 3 + 2 = 12,  1 + 2 = 3)

8 3
3 3

Se i due numeri in basso sono uguali (in questo caso 6 = 6) la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo. Ricordiamo che se la prova ha esito negativo, la divisione è sicuramente errata.

Riepiloghiamo con lo schema che segue

Somma cifre
divisore
Somma cifre
quoziente
Somma cifre
prodotto dei 2 numeri in alto + somma cifre resto
Somma cifre
dividendo

 

Approfondimento ad uso dei genitori:


Dal momento che la divisione e l’operazione inversa della moltiplicazione si potrebbe trasformare la divisione in una moltiplicazione ed eseguire la prova del nove con lo schema visto prima. Quindi se la nostra divisione è la seguente

dividendo : divisore = quoziente

allora la moltiplicazione che ne consegue è la seguente

divisore x quoziente + resto = dividendo

Nel nostro esempio la divisione

732 : 17 = 43 con resto 1

si trasformerebbe nella moltiplicazione

17 x 43 + 1 = 732   (Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9)

  • L’ADDIZIONE

Un po’ di teoria definendo l’operazione aritmetica chiamata addizione.

L’addizione è l’operazione che mette insieme due o più quantità o aggiunge una quantità a un’altra. Il suo simbolo è il segno “+” che si legge “più“. I numeri da addizionare si chiamano addendi; il risultato  che si ottiene si chiama somma o totale.

Tracciamo una tabella formata da tre colonne e tante righe quanti sono gli addendi + 1 per il totale. Nel nostro caso gli addendi saranno 3 e quindi avremo 4 righe in tutto.

Prendiamo in considerazione il seguente esempio

478 + 637 + 952 = 2 067  (Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9)

Nella prima colonna a sinistra riportiamo sulle righe i tre addendi ed il totale.

478 +
637 +
952 =
2067 _

Nelle terza colonna (l’ultima a destra) sommiamo le cifre di ogni addendo finché non resta un numero ad una sola cifra (quindi per le prime tre righe, avremo):

  1. addendo(1)  (4 + 7 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1)
  2. addendo(2)  (6 + 3 + 7 = 16, 1 + 6 = 7)
  3. addendo(3)  (9 + 5 + 2 = 16, 1 + 6 = 7)
478 + 1
637 + 7
952 = 7
2067 _

Nell’ultima cella in basso a destra sommiamo dall’alto verso il basso (importante la direzione dall’alto verso il basso) le cifre dei risultati ottenuti per ogni addendo (1 + 7 + 7 = 15, 1 + 5 = 6)

478 + 1
637 + 7
952 = 7
2067 _ 6

Nella seconda colonna dell’ultima riga (in direzione del totale) sommiamo le cifre del totale (2 + 0 + 6 + 7 = 15, 1 + 5 = 6)

478 + 1
637 + 7
952 = 7
2067 _ 6 6

Se i due numeri in basso (sulla seconda e terza colonna) sono uguali (in questo caso 6 = 6) la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo. Ricordiamo che se la prova ha esito negativo, la divisione è sicuramente errata.

Riepiloghiamo con lo schema che segue

addendo1 +
(vuoto) Somma cifre
addendo1
addendo2 +
(vuoto)
Somma cifre
addendo2
…              +
(vuoto)
Somma cifre
addendoN +
(vuoto)
Somma cifre
addendoN
Totale
Somma cifre
del Totale
Somma cifre
del totale dei risultati di sopra

 

  • LA SOTTRAZIONE

Un po’ di teoria definendo l’operazione aritmetica chiamata sottrazione.

La sottrazione è l’operazione che:

  • toglie una quantità da un’altra   e calcola il resto,
  • calcola quanto manca per completare una quantità,
  • calcola la differenza tra due quantità.
  • Il simbolo della sottrazione è il segno “-” che si legge “meno“. Il primo numero della sottrazione si chiama minuendo, il secondo sottraendo; il risultato che si ottiene si chiama resto o differenza.

Tracciamo una tabella formata da tre colonne e tante righe quanti sono i sottraendi + 1 per il minuendo + 1 per il resto o differenza. Nel nostro caso i diminuendi saranno 2 e quindi avremo 4 righe in tutto.

Prendiamo in considerazione il seguente esempio

2067 – 952 – 637 = 478  (Sarà corretto il risultato o no? Facciamo la prova del 9)

Nella prima colonna a sinistra riportiamo sulle righe il minuendo, i sottraendi (qualora ce ne fossero più di uno) ed il resto o differenza.

2067  -
952  -
637 =
478  _

Nelle terza colonna (l’ultima a destra partendo dal basso verso l’alto) sommiamo le cifre del resto o differenza e di ogni sottraendo finché non resta un numero ad una sola cifra (quindi per le ultime tre righe, avremo):

  1. resto o differenza  (4 + 7 + 8 = 19, 1 + 9 = 10, 1 + 0 = 1)
  2. sottraendo(1)  (6 + 3 + 7 = 16, 1 + 6 = 7)
  3. sottraendo(2)  (9 + 5 + 2 = 16, 1 + 6 = 7)
2067  -
952  - 7
637 = 7
478  _  1

Nella prima cella in alto a destra sommiamo dal basso verso l’alto (importante la direzione dal basso verso l’alto) le cifre dei risultati ottenuti per il resto o differenze e i due sottraendi (1 + 7 + 7 = 15, 1 + 5 = 6)

2067  - 6
952  - 7
637 = 7
478  _ 1

Nella seconda colonna della prima riga sommiamo le cifre del minuendo (2 + 0 + 6 + 7 = 15, 1 + 6 = 6)

2067  -  6 6
952  - 7
637 = 7
478  _ 1

Se i due numeri in alto (sulla seconda e terza colonna) sono uguali (in questo caso 6 = 6) la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo. Ricordiamo che se la prova ha esito negativo, la divisione è sicuramente errata.

Riepiloghiamo con lo schema che segue

minuendo      -
Somma cifre
del minuendo
Somma cifre
del totale dei risultati di sotto
sottraendo1  -
(vuoto)
Somma cifre
sottraendo1
…                   -
(vuoto)
Somma cifre
sottraendoN  -
(vuoto)
Somma cifre
sottraendoN
Resto o differenza

Somma cifre
del Resto o differenza

 

La prova del 9 Prova del 9 è una utility sempre disponibile dal menù Utilità->Matematica->Prova del 9.

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